Théorie spectrale géométrique de l'opérateur de Dirichlet-Neumann

Description

La géométrie spectrale est un domaine qui se situe à l'intersection de la géométrie différentielle, des équations aux dérivées partielles et de l'analyse fonctionnelle. Elle s'intéresse aux liens entre la forme d'un objet et les fréquences de vibration naturelle de cet objet. Mathématiquement, on étudie le lien entre la géométrie d'un espace et les valeurs propres d'un opérateur naturellement défini sur celui-ci. Ces valeurs propres correspondent aux fréquences de vibration naturelle de l'objet, ou aux niveaux d'énergie d'un système quantique. Ce domaine de recherche a pris son essor après que M. Kac ait posé sa célèbre question: "Can one hear the shape of a drum?" En 1992, C. Gordon, D. Webb et S. Wolpert ont répondu à la question de M. Kac par la négative en exhibant deux membranes qui ont les mêmes fréquences naturelles, mais n'ont pas la même forme. Le spectre d'un objet ne détermine donc pas sa forme. Néanmoins, plusieurs informations géométriques sont de nature spectrale. Il est par exemple connu depuis le début du XXe siècle que le volume d'un objet est déterminé par ses fréquences naturelles.s.

Ce projet portera sur la géométrie spectrale de l'opérateur de Dirichlet-Neumann qui sert de modèle en tomographie par impédance électrique. Notre but sera d'étudier des bornes géométriques pour ses valeurs propres, de comprendre l'information géométrique contenue dans son spectre ainsi que de développer une théorie de la discrétisation pour l'opérateur de Dirichlet-Neumann. Les méthodes que nous utiliserons reposent sur la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, sur la géométrie métrique et sur l'isopérimétrie.